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常用积分快速参考手册

2025-10-10

Reference

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Analysis

常用积分快速参考手册#

NOTE
如果需要计算不定积分，请注意本文中均省略了常数 $+C$ .

幂函数#

幂函数

\int x^p \,\mathrm d x = \frac{1}{p+1} x^{p+1}

特别地， $x^{-1}$ , 如果积分有定义

\int \frac{1}{x} \,\mathrm d x = \ln \left| x \right|

指数函数#

指数函数

\int \exp x \,\mathrm d x = \exp x

以任意 $a: \R > 0$ 为底

\int a^x \,\mathrm d x = \frac{1}{\ln a} a^x

对数函数#

自然对数

\int \ln x \,\mathrm d x = x \ln x - x

以任意 $a: \R > 0$ 为底

\int \log_a x \,\mathrm d x = \frac{1}{\ln a}(x \ln x - x)

三角函数#

正弦

\int \sin x \,\mathrm d x = \cos x

余弦

\int \cos x \,\mathrm d x = -\sin x

正切，如果积分有定义

\int \tan x \,\mathrm d x = - \ln \left| \cos x \right|

反三角函数#

反正弦导数

\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \,\mathrm d x = \arcsin x

反正切导数

\int \frac{1}{1 + x^2} \,\mathrm d x = \arctan x

双曲函数#

双曲正弦

\int \sinh x \,\mathrm d x = \cosh x

双曲余弦

\int \cosh x \,\mathrm d x = \sinh x

反双曲函数#

TIP
这与反三角函数类似。

反双曲正弦导数

\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} \,\mathrm d x = \operatorname{arsinh} x

反双曲余弦导数

\int \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} \,\mathrm d x = \operatorname{arcosh} x

二级结论#

导数除以自身

\int \frac{f'(x)}{f(x)} \,\mathrm d x = \ln \left| f(x) \right|

反正弦推广，如果积分有定义

\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} \,\mathrm d x = \arcsin \frac{x}{a}

反正切推广

\int \frac{1}{a^2 + x^2} \,\mathrm d x = \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a}

反双曲正弦推广

\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}} = \operatorname{arsinh} \frac{x}{\left| a \right|}

反双曲余弦推广，如果积分有定义

\int \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}} = \operatorname{arcosh} \frac{x}{\left| a \right|}

常用积分快速参考手册

https://misaka10987.github.io/posts/random/integral-handbook/

Author

misaka10987

Published at

2025-10-10

License

CC BY-NC-ND 4.0

双曲角实在是太简单了

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