代数视角下的秩零度定理#

从矩阵到线性变换#

一个矩阵 $A : \R^{m \times n}$ 可以看作线性变换 $f_A : \R^n \to \R^m = \mathbf x \mapsto A \mathbf x$ , 而矩阵之间的乘法就是函数之间的复合。有了这种对应关系，我们在下文中可以始终从线性变换的视角来看待矩阵。

同时，在线性变换的视角下，矩阵作为函数的话，不难注意到其零空间和列空间直接就是映射的 核 与 像 。

因此，我们可以将秩零度定理改写成这样的形式

$A : \R^n \to \R^m$ , $\dim(\operatorname{im} A) + \dim(\ker A) = n$ .

即，线性变换的定义域的维度等于像的维度加上核的维度。

推广形式#

由于 维度 被定义为基向量的数量，类似的命题在所有 $\mathbb F$ - 向量空间内都可以定义。我们给出线性代数基本定理在这样推广后的版本

线性代数基本定理 设 $V$ , $W$ 是向量空间，$A : V \to W$ 是其间的线性变换，则有

$$\dim(\operatorname{im} A) + \dim(\ker A) = \dim V$$

而这个定理的证明可以从向量空间的视角来展开思考。我们直觉认为 $\ker A$ 中的元素都被映到 $\mathbf 0_W$ 上，可以视作「对像的维度没有任何贡献」，而去掉这部分之后的定义域应该和像有相同的维度，也就是线性同构于像。

证明

将目标简单恒等变换即

$$\dim(\operatorname{im} A) = \dim V - \dim (\ker A)$$

显然 $\ker A$ 是 $V$ 的子空间。我们 商 掉它即

$$\dim(\operatorname{im} A) = \dim(V / \ker A)$$

维度相等等价于线性同构，即

$$\operatorname{im} A \cong V / \ker A$$

要证线性同构，我们构造一个映射

$$T : V / \ker A \to \operatorname{im} A = [\mathbf v] \mapsto A(\mathbf v)$$

并证明它是线性同构。

第一同构定理 令 $T : V \to W$ 是 $\mathbb F$ - 向量空间 $V$ , $W$ 之间的线性变换，则 $\tilde T : V / \ker T \to W = [\mathbf v] \mapsto T(\mathbf v)$ 是良定义的线性同构。

证明

• 良定义 令 $\mathbf v_1, \mathbf v_2 \in [\mathbf v]$ , 则 $\mathbf v_1 - \mathbf v_2 \in \ker T$ , $T(\mathbf v_1 - \mathbf v_2) = \mathbf 0_W$ , $T(\mathbf v_1) = T(\mathbf v_2)$ .

• 双射

  • 单射 若 $\tilde T([\mathbf v_1]) = \tilde T([\mathbf v_2])$ , 则 $T(\mathbf v_1) = T(\mathbf v_2)$ , $T(\mathbf v_1 - \mathbf v_2) = \mathbf 0_W$ , $\mathbf v_1 - \mathbf v_2 \in \ker T$ , 由定义可知 $[\mathbf v_1] = [\mathbf v_2]$ .

  • 满射 因为 $T$ 是到 $\operatorname{im} T$ 的满射，对定义域中的每个元素取其生成的等价类，显然 $\tilde T$ 是满射。

• 线性 $\tilde T([\mathbf v_1] + [\mathbf v_2]) = \tilde T([\mathbf v_1 + \mathbf v_2]) = T(\mathbf v_1 + \mathbf v_2) = T(\mathbf v_1) + T(\mathbf v_2) = \tilde T([\mathbf v_1]) + \tilde T([\mathbf v_2])$ .

$\square$ .

$\square$ .

这是一个纯代数角度的证明，对所有的向量空间都有效。

秩零度定理的本质含义#

一种从「信息」出发的理解方式是，线性映射 $T : \mathbb F^n \to \mathbb F^m$ 输入的信息量一共有 $n$ , 输出的信息量却只有 $m$ , 因此，有 $n - m$ 的信息在这个过程中被摧毁了，这是通过重复映射到 $0$ 上从而不可逆来实现的。被摧毁的部分即 $\ker T$ .

类似地，在群论中也有表达这一结论的定理

第一同构定理 若 $G$ , $H$ 是群，$f : G \to H$ 是同态，则 $G / \ker f \cong \operatorname{im} f$ .

这些结论通过 阿贝尔范畴 统一描述。