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常用积分快速参考手册
2025-10-10
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Analysis

常用积分快速参考手册#

NOTE

如果需要计算不定积分，请注意本文中均省略了常数 +C+C .

幂函数#

幂函数

∫xp dx=1p+1xp+1\int x^p \,\mathrm d x = \frac{1}{p+1} x^{p+1}

特别地，x−1x^{-1} , 如果积分有定义

∫1x dx=ln⁡∣x∣\int \frac{1}{x} \,\mathrm d x = \ln \left| x \right|

指数函数#

指数函数

∫exp⁡x dx=exp⁡x\int \exp x \,\mathrm d x = \exp x

以任意 a:R>0a: \R > 0 为底

∫ax dx=1ln⁡aax\int a^x \,\mathrm d x = \frac{1}{\ln a} a^x

对数函数#

自然对数

∫ln⁡x dx=xln⁡x−x\int \ln x \,\mathrm d x = x \ln x - x

以任意 a:R>0a: \R > 0 为底

∫log⁡ax dx=1ln⁡a(xln⁡x−x)\int \log_a x \,\mathrm d x = \frac{1}{\ln a}(x \ln x - x)

三角函数#

正弦

∫sin⁡x dx=cos⁡x\int \sin x \,\mathrm d x = \cos x

余弦

∫cos⁡x dx=−sin⁡x\int \cos x \,\mathrm d x = -\sin x

正切，如果积分有定义

∫tan⁡x dx=−ln⁡∣cos⁡x∣\int \tan x \,\mathrm d x = - \ln \left| \cos x \right|

反三角函数#

反正弦导数

∫11−x2 dx=arcsin⁡x\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \,\mathrm d x = \arcsin x

反正切导数

∫11+x2 dx=arctan⁡x\int \frac{1}{1 + x^2} \,\mathrm d x = \arctan x

双曲函数#

双曲正弦

∫sinh⁡x dx=cosh⁡x\int \sinh x \,\mathrm d x = \cosh x

双曲余弦

∫cosh⁡x dx=sinh⁡x\int \cosh x \,\mathrm d x = \sinh x

反双曲函数#

TIP

这与反三角函数类似。

反双曲正弦导数

∫1x2+1 dx=arsinh⁡x\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} \,\mathrm d x = \operatorname{arsinh} x

反双曲余弦导数

∫1x2−1 dx=arcosh⁡x\int \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} \,\mathrm d x = \operatorname{arcosh} x

二级结论#

导数除以自身

∫f′(x)f(x) dx=ln⁡∣f(x)∣\int \frac{f'(x)}{f(x)} \,\mathrm d x = \ln \left| f(x) \right|

反正弦推广，如果积分有定义

∫1a2−x2 dx=arcsin⁡xa\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} \,\mathrm d x = \arcsin \frac{x}{a}

反正切推广

∫1a2+x2 dx=1aarctan⁡xa\int \frac{1}{a^2 + x^2} \,\mathrm d x = \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a}

反双曲正弦推广

∫1x2+a2=arsinh⁡x∣a∣\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}} = \operatorname{arsinh} \frac{x}{\left| a \right|}

反双曲余弦推广，如果积分有定义

∫1x2−a2=arcosh⁡x∣a∣\int \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}} = \operatorname{arcosh} \frac{x}{\left| a \right|}
常用积分快速参考手册
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Author
misaka10987
Published at
2025-10-10
双曲角实在是太简单了
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