Ring and Field Theory Cheatsheet#

域#

如果我们在环的基础上，额外要求 $(R - \left\{ 0 \right\}, \times)$ 要是一个群而非（幺）半群，此时 $(R, +, \times)$ 就成为一个 域 。

注意到我们可以推出加法单位元 $0$ 乘所有元素都是 $0$ , 所以如果要成为群则必须去掉它。

模块#

如果我们放松对向量空间的标量的要求，从域到普通的环 $R$ , 此时的「向量空间」就称作一个 $R$ -模块 。

如果这个标量是 $\Z$ 的话，最自然的定义数乘的方式就是 $(n, \mathbf v) \mapsto \sum_{i=1}^n \mathbf v$ . 我们注意到这个定义对 $V$ 本身没有做任何要求！也就是说，对所有的交换群都适用。

所有交换群都是 $\Z$ -模块。

素理想#

我们还是用「具有某个因子」来看理想。整数中，你不能用两个不含某个素因子的数乘出来这个素数——如果一个乘积含有某个素因子，那要么左侧，要么右侧，至少一边含有这个素因子。如果某个理想对应的因子——再次强调这只是便于理解，可以不存在——是个「素数」的话，这就是一个素理想。

$R$ 的一个理想 $I$ 是 素理想 ，当且仅当 $ab \in I \implies a \in I \lor b \in I$ $\forall a, b \in R$ .

最大理想#

如果没有非平凡地包含某个理想的理想，或者严谨地说，$R$ 中的理想 $I \subseteq A \implies A = I \lor A = R$ , 那 $I$ 就称为一个 最大理想 。

在 $\Z$ 中，除了 $\langle 0 \rangle$ 以外的所有素理想都是最大理想（另外注意 $\langle 0 \rangle$ 是素理想，虽然 $0$ 不是素数）。

一个不一定恰当的理解是，环里面可能有很多的「方向」。对于最大理想来说，只要再多任意一个方向，就会直接生成整个环；而素理想则只是在部分几个方向上。比如，对于域 $F$ , $F[x, y]$ 中 $\langle x \rangle$ 就是素理想，但最大理想 $\langle x, y \rangle \supseteq \langle x \rangle$ . 或者，对 $\Z$ 来说，只要你加入一个与现在的理想里面互素的元素，就会生成整个 $\Z$ .

定理 有单位交换环 $R$ 中，$I \subseteq R$ 是最大理想当且仅当 $R / I$ 是域。

直接展开定义，利用 $I$ 最大 $\iff R/I$ 只有 $\langle 0 \rangle$ 和 $R/I$ 两个理想的事实。

Noetherian 环#

所有（左 / 右）理想都有限生成的环称为（左 / 右）Noetherian 环 。

Noetherian 环好处之一是，因为生成元只有有限个，在处理时经常可以数学归纳法。

不可约元#

我们希望所有的「合数」都能分解成一系列素元的乘积，但尝试一下就会发现做不到——在整数上，不能分解的元素按定义就是素数。而由于我们采用了 Euclid 引理作为素元的定义，不能分解的元素就未必是素元了。

当然，想要分解一个整环中的元素 $x$ , 我们自然可以随便取一个有逆的元素（如果存在的话，这并不是一件稀奇的事）$a$ 然后宣布 $x = (ax) (a^{-1})$ 就是我们找到的分解。为了排除这种平凡的情况，避免在存在可逆元时所有的元素都可以分解，我们人为规定一个成功的分解必须包含一个没有逆的元素。

整环 $D$ 的一个元素 $x$ 称为 不可约元 ，当且仅当 $x = ab \implies$ $a$ 有逆或 $b$ 有逆。

不唯一的分解#

现在我们可以把不可约元，而非素元，当成我们的「素数」来实施分解。这可以保证每个元素都存在分解。但是，回想一下为了证明整数的素因子分解是唯一的，我们会假设两个不一样的分解，然后用 Euclid 引理指出素数整除素数，来得到相等的结果。这个证明在现在也不适用了。

因此，利用不可约元的分解 不唯一 。一个更具体的例子是在 $\Z[5\mathrm i]$ 中，$9 = 3 \times 3 = (2 + 5\mathrm i)(2-5\mathrm i)$ . 有些时候，这不成问题。但我们如果一定想要一个唯一的分解，则规定这样的环称为 唯一分解整环 (UFD) 。

定理 UFD 中不可约元是素元。

通过考虑两边的分解，容易证明不可约元 $p \mid ab \land p \nmid a \land p \nmid b$ 实现不了。

最大公因数整环#

在整数上，我们有最大公因数的定义：

并且还能用很多方式来求出最大公因数，比如素因子分解或者辗转相除。把两个数素因子分解，然后取每个素因子最低次的算法在 UFD 上依然可以使用。但 UFD 不只保证了最大公因数的 存在 ，还给出了一个 计算 最大公因数的方法。没有人规定最大公因数一定要这样计算（如果你不是直觉主义者，甚至可以辩称提供某个对象的存在性证明，不一定 需要给出它的明确构造）。因此 UFD 是一个比最大公因数公理要 强 的性质。

定义 整环 $D$ 中，如果 $\forall a, b \in D$ 都存在 $d \in D$ 满足最大公因数公理，则 $D$ 称为 最大公因数整环 。

UFD 是 GCD 整环。

需要注意，我们并没有指定 $\gcd(a, b)$ 的 唯一性 。但我们由定义可以得出任意两个最大公因数都互相整除，所以在相伴意义下唯一。

可以证明 $\operatorname{lcm}(a, b) := \frac{ab}{\gcd(a, b)}$ 是一个满足要求的最小公倍数。

对于整数 $n$ ， 我们有这样的性质：

• $a \mid n \lor b \mid n \implies \gcd(a, b) \mid n$（注意逆命题 不 成立！比如 $2 \mid 10$ 不代表 $4 \mid 10 \lor 6 \mid 10$ ）；

• $a \mid n \land b \mid n \iff \operatorname{lcm}(a, b) \mid n$ .

回想我们关于理想的 比喻 ，这两个性质也可以用主理想的语言来写：

• $\langle a , b \rangle \subseteq \langle \gcd(a, b) \rangle$ ;

• $\langle a \rangle \cap \langle b \rangle = \langle \operatorname{lcm}(a, b) \rangle$ .

同时注意一下 $\langle a \rangle \cap \langle b \rangle$ 本身就始终是理想，而 $\langle a \rangle \cup \langle b \rangle$ 则不一定，需要 $\langle a, b \rangle = \langle \langle a \rangle \cup \langle b \rangle \rangle$ 才行。

最大公因数的存在允许了推广版本的 Euclid 引理 ( $n \mid ab \land \gcd(n, a) = 1 \implies n \mid b$ ). 由此可以证明 GCD 整环中的不可约元就是素元。

Bézout 整环#

$\Z$ 上，任意两个元素 $a$ 和 $b$ 的线性组合 $\left\{ ax+by \mid x, y \in \Z \right\}$ 恰好就是最大公因数 $\gcd(a, b)$ 的倍数 。书接上回，就是说虽然 $\gcd(a, b) \mid n \ne a \mid n \lor b \mid n$ , 但理想 $\langle a, b \rangle = \langle \gcd(a, b) \rangle$ . 可并不是所有环中的理想都能用一个元素表示（比如 $\langle 2, x \rangle \subseteq \Z[x]$ ）, 更多的情况下 $\langle a, b \rangle \subset \langle \gcd(a, b) \rangle$ .

我们发现这里取等的条件是 $\gcd(a, b) \in \langle a, b \rangle$ , 考虑 $\langle a, b \rangle$ 定义为 $a$ 和 $b$ 的线性组合，就是 Bézout 等式 $\gcd(a, b) = ax+by$ .

Bézout 整环 $D$ 等价定义为以下两者之一：

• $\exist a, b \in D$ s.t. $\gcd(a, b) = ax + by$ $\forall a, b \in D$ ;

• $\exist d \in D$ s.t. $\langle a, b \rangle = \langle d \rangle$ $\forall a, b, \in D$ .

Bézout 整环给我们带来一个很好的工具：我们可以把任意两个元素生成的理想压缩为一个主理想。利用数学归纳法，我们发现，所有有限生成的理想都可以被压缩为一个主理想！

定义 所有理想都是主理想的整环称为 主理想整环 (PID) .

PID 等价于 Noetherian Bézout 整环。

示意图#

带余除法#

在整数 $\Z$ 上有一个可计算的带余除法 $m = m \mathbin\mathrm{div} n + m \mathbin\mathrm{mod} n$ . 域 $F$ 为系数的多项式环 $F[x]$ 上，在 $\deg f(x) \ge \deg g(x)$ 时也可以用 $g(x)$ 对 $f(x)$ 计算多项式带余除法。思考一下，会发现在一般的整环上，定义带余除法有一点困难。首先，我们不一定能保证这样的分解存在。其次，「越除越大」的可能性没有禁止！

Euclidean 度量#

先解决后一个问题。注意到我们此前对环的研究完全没有引入过任何大小关系，所以我们需要人为定义一种比较大小的方法，才能去要求余数比除数小。

整环 $D$ 的一个 Euclidean 度量 是一个函数 $d : D \to \N$ , 满足

• $x : D = 0 \iff d(x) = 0$ ;

• $d(ab) \ge d(a) \space \forall a,b \ne 0$ .

有些作者会把 Euclidean 度量定义在 $D - \left \{ 0 \right \} \to \N$ 上，这两种定义是等价的，整体平移 $1$ 即可。

现在我们可以比较整环中的元素了。在 $\Z$ 上，度量可以直接定义为绝对值函数。在多项式上就比较麻烦，定义

这时如果采用 $D - \left\{ 0 \right\} \to \N$ 版本的度量函数就会更方便，直接定义成 $\deg$ 即可。注意这还要求多项式环 $F[x]$ 的系数 $F$ 是域。

一个自然的问题是为什么要求 $D \to \N$ 而非像测度那样 $\R_{\ge0}$ 或者别的什么上。这是因为我们不希望出现 无穷下降链 ，因为我们需要带余除法总能计算出结果来。

定义 一个整环 $D$ 是 Euclidean 整环 (ED) , 当且仅当其上有一个 Euclidean 度量 $d$ , 以及一个带余除法算法，对 $a, b : D$ 在 $b \ne 0$ 时给出 $a = a \mathbin\mathrm{div} b + a \mathbin\mathrm{mod} b$ 使得 $d(a \mathbin\mathrm{mod} b) < d(b)$ .

利用带余除法#

虽然 ED 看上去并不是一个很强的条件（因为这是一个 存在性 的证明，只要找出一种方法满足要求就行），我们事实上能利用带余除法来构造出很多性质的证明。