Group Theory Cheatsheet#

集合#

一个简单的集合 $S$ 没有结构，我们无法区分两个一样多（ 等势 ）的集合。

二元运算#

如果在集合 $S$ 上添加一个二元运算 $f : S \to S \to S$ , 现在 $(S, f)$ 就有了一些结构。

这个二元运算经常叫做「乘法」，而 $(S, f)$ 在没有歧义的时候经常直接缩写成 $S$ .

如果 $S$ 是一个 $n$ 个元素的有限集，我们可以画一个 $n \times n$ 的乘法表来记录 $f$ . 这称为 Cayley表 。

$(\mathrm{boolean}, \land)$

$\land$	$0$	$1$
$0$	$0$	$0$
$1$	$0$	$1$

结合律#

如果运算满足结合律，$(S, f)$ 定义成一个 半群 。

传统的抽象代数一般只研究有结合律的结构。

幺元#

有单位元的半群称为 幺半群 。可以证明单位元是唯一的（$1_a1_b = 1_a$ , $1_a1_b=1_b$ ）.

群#

所有元素都有 逆元 的幺半群是 群 。一个元素 $a$ 有逆，也意味着 $f(a, -)$ 和 $f(-, a)$ 都是可逆的。一个很自然的推论是消去律。也就是说，和实数乘法不同，群的乘法没有一个类似 $0$ 的元素。我们也可以直观认为 $f(a, -)$ 和 $f(-, a)$ 不丢失任何信息。

Cayley 定理#

所有群都同构于某个对称群的子群。

这个结论甚至对无限群也成立！其实很好理解，对于 $g : G$ , $x \mapsto gx : G \to G$ 就是一个置换。

有了 Cayley 定理的辅助，我们确实可以真的将所有群理解成函数作为元素，复合作为运算。需要注意的是，这样有时候或许更符合直觉，但也可能让心智负担加重。把群当成一种「数」还是一些函数，视角可以按需切换。

G-Set#

回到群作用的视角，Cayley 定理说的是我们可以把 $G$ 作用到 $G$ 上（把 $G$ 对应到 $G \to G$ 的函数）。但其实，我们不一定非要把 $G$ 作用在它自己身上，而可以是随便一个集合 $S$ . 因为我们希望群运算就是函数复合，所以需要有这样的约束：

结合律 $\forall g, h \in G$ , $x \in S$ , $(gh)x = g(hx)$ .

注意等式左边的两个乘法，一个是 $G$ 中的乘法，一个是 $G$ 对 $S$ 的作用；右边两个都是作用。此时 $S$ 被叫做一个 $G$ -Set .

轨道分解#

既然我们提到过「同轨道」可以是等价关系，我们自然可以把一个 $G$ -Set 分成若干个轨道的不交并。这是一个很有用的技巧。

陪集#

如果用一点线性代数的类比，一个子群看成一个「方向」，在这个方向上的移动永远在这个方向上，而不在子群里的元素则包含了其它方向。陪集就可以看成一个子群被平移了一段距离。所有这些陪集把群划分成很多个「平行」的部分。

或者，对于子群 $H \le G$ , 也可以定义一个等价关系 $a \sim_H b := \exist h \in H$ s.t. $a = bh$ （这是左陪集，右同）。这样的话陪集就是 $G / \sim_H$ 下的等价类。

所有陪集的大小相等。

中心#

群 $G$ 中和所有其他元素交换的元素 $\operatorname Z(G)$ .

$G$ 是交换群，当且仅当 $G/\operatorname Z(G)$ 是循环群。

中心化子#

群 $G$ 中所有和元素 $a$ 交换的元素 $\operatorname C_G(a)$ , 或者简写成 $\operatorname C(a)$ .

显然 $\operatorname Z(G) \le \operatorname C_G(a)$ .

计数#

• $\left| \operatorname{cl}(x) \right| = \left| G : \operatorname C(x)\right|$ . 这就相当于是把 $G$ 通过 $g \mapsto x \mapsto gxg^{-1}$ 作用到自己身上时的轨道-稳定子定理。

• $|G| = \sum_{[x] \in G/\mathrm{conj} }|G:\operatorname C(x)|$ , 作为上一条的推论。

Cauchy 定理#

如果 $p \mid \left| G \right|$ , 那么 $G$ 有一个阶为 $p$ 的元素。

当然，这也能作为 Sylow I 的推论，但考虑到我们的证明确实用了它。

我们希望找一个 $g$ 使得 $g^p = 1$ . 这里有一点技巧，所以我们先考虑所有乘起来是 $1$ 的 $p$ 元组。显然你可以随便选前 $p - 1$ 个元素来唯一确定最后一个元素，所以一共有 $\left| G \right|^{p-1}$ 个这样的元组。

现在我们取一个 $\mathrm S_p$ 的子群 $P = \langle (123 \cdots p) \rangle$ 应用到这些 $p$ 元组上。我们还知道 $P \cong \Z_p$ , 这样的话轨道-稳定子定理就告诉我们每个轨道的大小要么是 $1$ , 要么是 $p$ . 大小是 $1$ 的轨道至少有一个（至少有一个只包含 $\mathbf 1_p$ 的），所以至少有 $p$ 个（否则总数不对），这样就有一个不是单位元的 $(123\cdots p)$ 的不动点，也就是所有分量相同，这就有 ${x_0}^p = 1$ .

证明#

显然我们有很多 $p$ -子群（存在性由 Cauchy 定理保证）。假设 $p^t$ 是当前最大的，而 $t < k$ , 我们给出一个方法，找到一个更大的 $p$ -子群。

我们先把这个子群记作 $P$ . $P$ 是 $\operatorname{N}(P)$ 的子群。如果 $p^{t + 1}$ 整除 $\left| \operatorname{N}(P) \right|$ 的话，Cauchy 定理告诉我们 $\operatorname{N}(P) / P$ 当中有一个 $p$ 阶元素 $xP$ . 显然 $x$ 在 $G$ 中同样有 $p$ 阶，又不在 $P$ 当中，所以 $\langle P, x \rangle$ （原谅这里的野蛮记法）是一个比 $P$ 还大的 $p$ -子群（因为 $P$ 在 $\langle P, x \rangle$ 中是正规的！一共有 $x^0P$ 到 $x^{p-1}P$ 的 $p$ 个陪集），它的阶就是 $p^{t+1}$ .

我们完成了 $p^{t+1} \mid \left| \operatorname{N}(P) \right|$ 的情况，剩下来 $\left| \operatorname{N}(P) \right| = p^t c$ , $p \nmid c$ 的情况。 但这样的话 $t < k$ 就告诉我们 $p \mid \left| G : \operatorname{N}(P) \right|$ , 而 $\left| G : \operatorname{N}(P) \right|$ 这个数恰好就是 $P$ 的共轭子群的个数（只有 $\operatorname{N}(P)$ 中的元素做共轭会固定不动）！我们把这些共轭子群收集成一个集合

现在把 $P$ 共轭作用到 $S$ 上。因为轨道-稳定子定理，每个轨道的大小都要整除 $\left| P \right|$ , 所以要么是 $1$ , 要么是 $p$ 的倍数。这其中大小为 $1$ 的轨道至少有一个包含 $P$ 本身的。

• 如果还有一个子群 $Q \in S$ 的轨道大小也是 $1$ , 我们知道 $P \le \operatorname{N}(Q)$ , 所以 $PQ$ 也是一个 $p$ -子群（因为 $\left| PQ \right| \mid \left| P \right| \cdot \left| Q \right|$ ）, 而它要比 $P$ 大！

• 如果没有其他的 $Q$ 了，但是 $p \mid \left| S \right|$ , 计数一下所有轨道的大小就会造成矛盾。