Group Theory Cheatsheet#

群#

子群#

定义上说，子群 是在原来的群的运算下依然能构成群的子集。我们也可以认为子群是用「先取一些元素，把它们的乘积和逆也加进来，重复直到没有新的元素」这个程序的产物。

Lagrange 定理#

子群的阶整除群的阶。

群被划分成若干个陪集，每个陪集都和子群一样大。

第一同构定理#

同态 $\phi: G \to H$ , $G / \ker \phi \cong H$ .

从 $\ker \phi$ 的所有陪集， $g \ker \phi \mapsto \phi(g)$ 是同构。

交换#

满足交换律的群称为 阿贝尔群 。

有限交换群基本定理（分类）#

所有有限交换群都同构于某个唯一确定的乘积 $\prod_i \Z_{p_i^{n_i}}$ , 其中每一项都是阶为素数的幂的循环群。

TODO

共轭#

群 $G$ 中的共轭关系 $a \sim b := \exist g : G$ s.t. $b=gag^{-1}$ 看上去莫名奇妙，所以我们多作一些解释。

我们知道对称群 $\mathrm S_3 = \left\{ (1), (12), (13), (23), (123), (132) \right\}$ 有三个共轭类：

• $\operatorname{cl} (1) = \left\{ (1) \right\}$ ;

• $\operatorname{cl}(12) = \left\{ (12), (13), (23) \right\}$ ; 和

• $\operatorname{cl}(123) = \left\{ (123), (132) \right\}$ .

但这建立在「我们给顶点起了名字」的基础上。如果抹掉元素上的数字标签，我们就只知道 $\mathrm S_3$ 里有一个恒等映射，三个两两换位操作，和两个轮换操作。不严谨²地说，共轭类中的元素在抹掉名字后，凭群当中的运算关系无法区分。

如何描述这种对称性呢？我们知道群当中的信息都来自乘法。比如我们想研究元素 $x$ , 我们可以有很多关于 $x$ 的乘法关系 $z_1 = xy_1$ , $z_2 = y_2x$ , … 这里为了方便我们先举左乘 $z=xy$ 为例。

我们「站在」群里的另一个元素 $a$ 上去观察整个群（我们把群平移一个 $a$ , 和坐标系变换也有点像）。现在我们看到的 $z'$ 其实是原来的 $az$ , $y'$ 是原来的 $ay$ . 那现在从 $z'$ 到 $y'$ 的变换就是一个新的左乘 $\mathrm L_{x'}$ . 简单的计算告诉我们 $x' = axa^{-1}$ .

另外，由于取共轭也是自同构 ( $\operatorname{Inn} G \le \operatorname{Aut} G$ ), 所有用乘法和取逆写成的关系式 $f(x_1, x_2, \cdots, x_n) = 1$ , 取共轭之后 $f(ax_1a^{-1}, ax_2a^{-1}, \cdots, ax_na^{-1}) = 1$ 依然成立。

如果把自同构群看成置换群的子群的话，我们还可以得到

Sylow 第一定理#

对于群 $G$ 和素数 $p$ , 如果 $p^k \mid \left| G \right|$ , 那么 $G$ 有一个阶为 $p^k$ 的子群。

注意 $G$ 不一定要有阶为 $p^k$ 的元素！最简单的反例是 ${\Z_p}^n$ , 这里所有元素的阶都不大于 $p$ .